Урок вычисления площадей с помощью интегралов. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов
Практическая работа по теме: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»
Цель работы: освоить умение решать задачи на вычисление площади криволинейной плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
Оборудование: инструкционная карта, таблица интегралов, лекционный материал по теме: «Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла».
Методические указания:
1) Изучите материалы лекции: «Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла».
Краткие теоретические сведения
Определенный интеграл функции на отрезке - это предел, к
которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного отрезка.
Нижний предел интегрирования, - верхний предел интегрирования.
Для вычисления определенного интеграла служит формула Ньютона-
Лейбница:
Геометрический смысл определенного интеграла . Если интегрируемая на
отрезке функция неотрицательна, то численно равен площади криволинейной трапеции:
Криволинейная трапеция - фигура, ограниченная графиком функции
Осью абсцисс и прямыми, .
Возможны различные случаи расположения плоских фигур в координатной плоскости:
Если криволинейная трапеция с основанием ограничена снизу кривой , то из соображений симметрии видно, что площадь фигуры равна или.
Если фигура ограничена кривой, которая принимает и положительные, и отрицательные значения. В этом случае, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на части, тогда
Если плоская фигура ограничена двумя кривыми и , то ее площадь можно найти с помощью площадей двух криволинейных трапеций: и.В данном случае площадь искомой фигуры можно вычислить по формуле:
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение. 1) Построим параболу и прямую в координатной плоскости (рисунок к задаче).
2) Выделим (заштрихуем) фигуру, ограниченную данными линиями.
Рисунок к задаче
3) Найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для этого решим
систему способом сравнения:
Площадь фигуры найдем как разность площадей криволинейных трапеций,
ограниченных параболой и прямой.
5) Ответ.
Алгоритм решения задачи на вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями:
Построить в одной координатной плоскости заданные линии.
Заштриховать фигуру, ограниченную данными линиями.
Определить пределы интегрирования (найти абсциссы точек пересечения кривых).
Вычислить площадь фигуры, выбрав необходимую формулу.
Записать ответ.
2) Выполните следующее задание по одному из вариантов:
Задание. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями (пользуйтесь алгоритмом решения задачи на вычисление площади фигуры):
Тема урока : «Вычисление площадей с помощью интегралов»
Цель урока :
воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при нахождении площади криволинейной трапеции, используя формулу Ньютона-Лейбница, научить находить площади фигур, используя ранее изученную теорию. Развивать навыки самоконтроля, грамотно выполнять построение чертежей и использовать их для иллюстрации решения. Обобщить и систематизировать теоретический материал по теме. Отработать навыки вычисления первообразных для функций. Отработать навыки вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница.
Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.
Структура урока:
1. Орг. Момент
2. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний и умений
3. Новый материал
4. Закрепление (работа в группах) дифференцированный контроль
5. Дом. зад.(дифференцированное)
Методы : объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, практический.
Тип учебного занятия: интегрированный урок
Формы работы : фронтальная, групповая.
Ход урока :
I Орг. Момент
II Проверка дом. зад :. Повторить понятие первообразной, основные формулы. (теоретич. материал)
Вспомнить алгоритм построения квадратичной функции (фронт. беседа)
Программированный контроль
Задание | Ответ |
||||
Вариант 1 | Вариант 2 | ||||
Найти общий вид первообразной для функции. |
|||||
Вычислите: |
|||||
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: |
|||||
у = х2, у = 0, х = 2 | у = х3, у = 0, х = 2 |
На столах у каждого кадета лежит данная самостоятельная работа, которая дает возможность проверить выполнение дом. раб. Правильный ответ обводят и сдают на проверку.
III Теоретический материал
Задача 1 : Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, прямыми x=a, x=b и графиком функции y=f(x)
y(x)=9-x2, x=-1, x=2
Один кадет вызывается к доске и с помощью программы Advanced Grapher строит криволинейную трапецию и полученный результат выводит на интерактивную доску. Остальные работают в тетрадях и затем сверяются с доской
На доске заштриховывают криволинейную трапецию, оформляют решение
https://pandia.ru/text/78/387/images/image015_18.jpg" width="476" height="359">
В ходе фронтальной беседы заштрихуем фигуру, площадь которой нам нужно найти
Перед кадетами ставится вопрос: «Полученная фигура является криволинейной трапецией? Как основываясь на ранее полученные знания можно вычислить площадь данной фигуры?»
Как найти пределы интегрирования для каждой криволинейной трапеции?
Найдем точки пересечения этих двух функций:
x 2 =2 x - x 2 (ответ учащихся)
Вывод: Sф=∫x2dx + ∫(2x-x2)dx=1 (на доске выводится только ответ). Для слабых работают консультанты.
· Строим графики функций
Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image017_20.jpg" width="512" height="260 src=">Используя этот же чертеж, вычислите площадь заштрихованной фигуры:
Кадет на доске увеличивает масштаб чертежа для лучшей наглядности.
Как найти площадь данной фигуры?
Учащиеся делают вывод, что данная фигура состоит из двух криволинейных трапеций.
Дайте запишем полученный результат в общем виде (кадеты делают вывод самостоятельно, учитель играет только направляющую роль)
· Строим графики функций
· Находим абсциссы точек пересечения графиков функций f(x)=g(x), x1, x2
Sф=∫(g(x)-f(x))dx
https://pandia.ru/text/78/387/images/image019_16.jpg" width="396" height="297 src=">Кадеты делают вывод:
 |
IV Закрепление (диф. работа в группах)
1 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=x2+2, g(x)=4-x
2 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4
3 группа: Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7
На доске выводится ключ для самопроверки:
III группа |
||
Подведение итогов:
· Как вычисляется площадь криволинейной трапеции?
· Какие из заштрихованных фигур (см. чертежи в тетради) являются криволинейными трапециями?
· Почему другие фигуры нельзя назвать криволинейными трапециями? Как находится их площадь?
V Диф. дом. Работа
1 группа: № 000,№ 000(2), № 000(1)
2 группа: № 000(2), № 1, № 000(4)
Устная работа 1. Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:
2. Вычислите интегралы:
Найдите площадь фигуры:
5)1/3; ln2 ;√2
Немного истории
«Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690г.)
«восстанавливать» от латинского integro
«целый» от латинского integer
«Примитивная функция»,
от латинского
primitivus – начальный,
Жозеф Луи Лагранж
Интеграл в древности
Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен.
Этот метод был подхвачен и развит Архимедом , и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.
Евдокс Книдский
Исаак Ньютон (1643-1727)
Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчислений содержится в
Переменные величины - флюенты(первообразная или неопределенный интеграл)
Скорость изменения флюент – флюксии (производная)
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716)
- впервые использован Лейбницем в конце
Символ образовался из буквы
S - сокращения слова
summa (сумма)
Формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунках
Алгоритм вычисления площади плоской фигуры :
- По условию задачи сделать схематический чертеж.
- Представить искомую функцию, как сумму или разность площадей криволинейных трапеций, выбрать соответствующую формулу.
- Найти пределы интегрирования (а и b) из условия задачи или чертежа, если они не заданы.
- Вычислить площадь каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.
З А Д А Ч А
Перед зданием школы решено разбить клумбу. Но по форме клумба не должна быть круглой, квадратной или прямоугольной. Она должна содержать в себе прямые и кривые линии. Пусть она будет плоской фигурой, ограниченной линиями
Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.
Вычислим площадь полученной фигуры по формуле:
где f(x)= 6 , а g(x)=4/x +2
Так как за каждый квадратный метр выплачивается 50 рублей, то заработок составит:
6,4 * 50 = 320 (рублей).
Домашнее задание:
