Какого рода разрывы имеют функции. Точки разрыва функции и их виды
Устранимый разрыв.
Определение . Точка a называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x) , если предел функции f(x) в этой точке существует, но в точке a функция f(x) либо не определена, либо имеет частное значение f(a) , отличное от предела f(x) в этой точке.
Пример . Например, функция
имеет в точке x=0 устранимый разрыв. Действительно, предельное значение этой функции в точке х=0 равно 1. Частное же значение равно 2.
Если функция f(x)
имеет в точке a
устранимый разрыв, то этот разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от a
. Для этого достаточно положить значение функции в точке a
равным ее предельному значению в этой точке. Так, в рассмотренном выше примере достаточно положить f(0)=1
и тогда 
, т.е. функция f(x)
станет непрерывной в точке x=0
.
Разрыв первого рода.
Определение . Точка a называется точкой разрыва, первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы
Приведем некоторые примеры.
Пример . Функция y=sgn x имеет в точке x=0 разрыв первого рода. Действительно, и, таким образом, эти пределы не равны между собой.
Пример
. Функция 
, определенная всюду, кроме точки x=1
, имеет в точке x=1
разрыв первого рода. В самом деле, .
Разрыв второго рода.
Определение . Точка a называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Пример . Функция f(x)=tg x , очевидно, имеет разрыв второго рода в каждой из точек x k =π/2+π k , k=0, ± 1, ± 2,… , ибо в каждой такой точке
Пример . Функция имеет разрыв второго рода в точке x=0 , ибо в этой точке у нее не существует ни правого, ни левого пределов.
Непрерывность функции на отрезке
Определение . Функция, определенная на отрезке и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на этом отрезке.
При этом под непрерывность в точке a понимается непрерывность справа, а под непрерывностью в точке b - непрерывность слева.
Будем говорить, что функция y=f(x)
, определенная на множестве {x}
достигает на нем своей верхней (нижней) грани 
, если существует такая точка x 0 ∈{x}
, что f(x 0)=β
(f(x 0)=α
).
Теорема [Вейерштрасса] . Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани и своей нижней грани.
Теорема [Больцано-Коши] . Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке и f(a)=A , f(b)=B , то для любого C , заключенного между A и B , существует такая точка ξ∈ , что f(ξ)=C .
Другими словами, непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними значение.
Следствие . Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.
Следствие
. Пусть функция y=f(x)
непрерывна на отрезке
и 
, 
. Тогда функция f(x)
принимает все значения из отрезка
и только эти значения.
Таким образом, множество всех значений функции, заданной и непрерывной на некотором отрезке, представляет собой также отрезок.
Определение точки разрыва функции
Конечная точка x 0
называется точкой разрыва функции
f(x)
,
если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
но не является непрерывной в этой точке.
То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f(x 0 ) функции в точке x 0 . См. «Определение непрерывности функции в точке ».
Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода
, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.
Определение скачка функции
Скачком Δ функции
в точке называется разность пределов справа и слева
.
Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва
, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
Таким образом, точка устранимого разрыва - это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.
Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода
, если она не является точкой разрыва 1-го рода.
То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.
Исследование функций на непрерывность
При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.
- Элементарные функции
и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
, а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям ». - Сумма, разность и произведение
непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций » - Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции »
Примеры
Пример 1
Задана функция и два значения аргумента и .
Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.
Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
,
.
Тогда
.
Рассмотрим функцию .
Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной - степенной функцией с показателем степени 1
. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому функция определена и непрерывна для всех ,
кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех ,
кроме точки .
Рассмотрим функцию .
Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной ,
кроме точки .
Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.
График функции y = 4 1/(x+2) .
Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.
Используя связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями , для предела слева имеем:
при ,
,
,
.
Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.
Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.
Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.
В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.
Пример 2
Задана функция .
Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.
График заданной функции.
Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1 . Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
В входят еще две функции: и .
Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
,
.
Поэтому они также непрерывны для всех .
Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.
Рассмотрим точку .
Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки .
Возьмем окрестность .
На ней .
Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.
Найдем правый предел в точке .
Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность .
На ней .
Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .
Поскольку, в точке ,
предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной - это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.
Теперь рассмотрим точку .
Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.
Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.
Пример 3
Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.
Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех .
Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех ,
за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение :
;
;
;
.
Тогда
.
Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.
Тогда заданная функция примет вид:
(П1)
.
Она определена и непрерывна для всех ,
кроме точек и .
Поэтому точки и являются точками разрыва функции.
Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2)
.
Такую операцию мы можем проделать, если .
Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при ,
а в этой точке не определена.
Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела »). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .
Рассмотрим точку .
Знаменатель дроби в функции ,
при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при .
Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.
Рассмотрим точку .
Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций , имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.
Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если предел функции в этой точке существует, но в точке а функциялибо не определена, либо ее значениене равно пределу в этой точке
Разрыв первого рода.
Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Разрыв второго рода.
Точка а называется точкой разрыва второго рода функции Точка а называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
25. Производная: определение, механический и геометрический смысл. Уравне-ние касательной к кривой.
Определение производной
Пусть функция определена на некотором промежутке Х. Придадим значению аргумента в точке произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала Х. Тогда соответствующее приращение функции составит .
Опр . Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при(если этот предел существует).
Если в некоторой точке предел бесконечен, то говорят, что в этой точке функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет производную в каждой точке множества Х, то производнаятакже является функцией от аргумента х, определенной на Х.
Геометрический смысл производной
Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.
Опр. Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МN, когда точка N стремится к точке М по кривой.
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид
Угловой коэффициент секущей равен
Тогда угловой коэффициент касательной равен
Отсюда следует наглядный вывод о том, что . В этом и состоитгеометрический смысл производной .
отсюда, v (t 0) = x’ (t 0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:
26. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементар-ных функций.
Правила дифференцирования.
1. Производная постоянной равна нулю
2. Производная аргумента равна единице.
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:
Производные основных элементар-ных функций.
1. (C)” = 0, где C = const
2. (x a)” = ax a-1 , где a не равно 0
3. (a x)” = a x ln a, где a > 0
4. (e x)” = e x
5. (log a x)” =1/x ln a , где a > 0
6. (ln x)” =1/x
7. (sin x)” = cos x
8. (cos x)” = - sin x
9. (tg x)” =1/cos 2 x
10. (ctg x)” = -1/sin 2 x
11. (arcsin x)” = 1/~1-x 2
12. (arccos x)’ = -1/~1-x 2
13. (arctg x)” =1/1+x 2
14. (arcctg x)” = -1/1+x 2
27. Производная сложной функции. Производные высших порядков.
Исследование функции на непрерывность в точке проводится по уже накатанной рутинной схеме, которая состоит в проверке трёх условий непрерывности:
Пример 1
Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение :
1) Под прицел попадает единственная точка , в которой функция не определена.
Односторонние пределы конечны и равны.
Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.
Как выглядит график данной функции?
Хочется провести упрощение 
, и вроде бы получается обычная парабола. НО
исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:
Выполним чертёж:
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.
Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется.
Вы скажете, пример надуманный? Ничуть. Десятки раз встречалось на практике. Почти все задачи сайта родом из реальных самостоятельных и контрольных работ.
Разделаемся с любимыми модулями:
Пример 2
Исследовать функцию 
на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение
: почему-то студенты боятся и не любят функции с модулем, хотя ничего сложного в них нет. Таких вещей мы уже немного коснулись на уроке Геометрические преобразования графиков
. Поскольку модуль неотрицателен, то он раскрывается следующим образом: 
, где «альфа» - некоторое выражение. В данном случае , и наша функция должна расписаться кусочным образом:
Но дроби обоих кусков предстоит сократить на . Сокращение, как и в предыдущем примере, не пройдёт без последствий. Исходная функция не определена в точке , так как знаменатель обращается в ноль. Поэтому в системе следует дополнительно указать условие , и первое неравенство сделать строгим:
Теперь об ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНОМ приёме решения : перед чистовым оформлением задачи на черновике выгодно сделать чертёж (независимо от того, требуется он по условию или нет). Это поможет, во-первых, сразу увидеть точки непрерывности и точки разрыва, а, во-вторых, 100%-но убережёт от ошибок при нахождении односторонних пределов.
Выполним чертёж. В соответствии с нашими выкладками, слева от точки необходимо начертить фрагмент параболы (синий цвет), а справа - кусок параболы (красный цвет), при этом функция не определена в самой точке :
Если есть сомнения, возьмите несколько значений «икс», подставьте их в функцию 
(не забывая, что модуль уничтожает возможный знак «минус») и сверьтесь с графиком.
Исследуем функцию на непрерывность аналитически:
1) Функция не определена в точке , поэтому сразу можно сказать, что не является в ней непрерывной.
2) Установим характер разрыва, для этого вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке . Заметьте, что не имеет значения, определена функция в точке разрыва или нет.
Теперь остаётся перенести чертёж с черновика (он сделан как бы с помощью исследования;-)) и завершить задание:
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Иногда требуют дополнительно указать скачок разрыва. Вычисляется он элементарно - из правого предела нужно вычесть левый предел: , то есть в точке разрыва наша функция прыгнула на 2 единицы вниз (о чём нам сообщает знак «минус»).
Пример 3
Исследовать функцию 
на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Сделать чертёж.
Это пример для самостоятельного решения, примерный образец решения в конце урока.
Перейдём к наиболее популярной и распространённой версии задания, когда функция состоит из трёх кусков:
Пример 4
Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции
.
Решение
: очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике, технику построения я достаточно подробно закомментировал в первой части статьи. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой (зелёная точка), и в силу неравенство значение принадлежит параболе (красная точка):
Ну вот, в принципе, всё понятно =) Осталось оформить решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:
I)
1) 
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .
Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) 
- функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
- односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.
3) 
На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.
Пример 5
Исследовать функцию на непрерывность и построить её график
.
Это пример для самостоятельного решения, краткое решение и примерный образец оформления задачи в конце урока.
Может сложиться впечатление, что в одной точке функция обязательно должна быть непрерывной, а в другой - обязательно должен быть разрыв. На практике это далеко не всегда так. Постарайтесь не пренебрегать оставшимися примерами - будет несколько интересных и важных фишек:
Пример 6
Дана функция 
. Исследовать функцию на непрерывность в точках . Построить график.
Решение
: и снова сразу выполним чертёж на черновике:
Особенность данного графика состоит в том, что при кусочная функция задаётся уравнением оси абсцисс . Здесь данный участок прорисован зелёным цветом, а в тетради его обычно жирно выделяют простым карандашом. И, конечно же, не забываем про наших баранов: значение относится к ветке тангенса (красная точка), а значение принадлежит прямой .
Из чертежа всё понятно - функция непрерывна на всей числовой прямой, осталось оформить решение, которое доводится до полного автоматизма буквально после 3-4-х подобных примеров:
I) Исследуем на непрерывность точку
2) Вычислим односторонние пределы:
, значит, общий предел существует.
Случился тут небольшой курьёз. Дело в том, что я создал немало материалов о пределах функции , и несколько раз хотел, да несколько раз забывал об одном простом вопросе. И вот, невероятным усилием воли таки заставил себя не потерять мысль =) Скорее всего, некоторые читатели-«чайники» сомневаются: чему равен предел константы? Предел константы равен самой константе. В данном случае предел нуля равен самому нулю (левосторонний предел).
3) 
- предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
II) Исследуем на непрерывность точку
1) - функция определена в данной точке.
2) Найдём односторонние пределы:
И здесь, в правостороннем пределе - предел единицы равен самой единице.
- общий предел существует.
3) 
- предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.
Как обычно, после исследования переносим наш чертёж на чистовик.
Ответ : функция непрерывна в точках .
Обратите внимание, что в условии нас ничего не спрашивали про исследование всей функции на непрерывность, и хорошим математическим тоном считается формулировать точный и чёткий ответ на поставленный вопрос. Кстати, если по условию не требуется строить график, то вы имеете полное право его и не строить (правда, потом преподаватель может заставить это сделать).
Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения:
Пример 7
Дана функция 
.
Исследовать функцию на непрерывность в точках . Классифицировать точки разрыва, если они есть. Выполнить чертёж.
Постарайтесь правильно «выговорить» все «слова» =) И график нарисовать поточнее, точность, она везде лишней не будет;-)
Как вы помните, я рекомендовал незамедлительно выполнять чертёж на черновике, но время от времени попадаются такие примеры, где не сразу сообразишь, как выглядит график. Поэтому в ряде случаев выгодно сначала найти односторонние пределы и только потом на основе исследования изобразить ветви. В двух заключительных примерах мы, кроме того, освоим технику вычисления некоторых односторонних пределов:
Пример 8
Исследовать на непрерывность функцию и построить её схематический график.
Решение : нехорошие точки очевидны: (обращает в ноль знаменатель показателя) и (обращает в ноль знаменатель всей дроби). Малопонятно, как выглядит график данной функции, а значит, сначала лучше провести исследование:
I) Исследуем на непрерывность точку
2) Найдём односторонние пределы:
Обратите внимание на типовой приём вычисления одностороннего предела
: в функцию вместо «икса» мы подставляем . В знаменателе никакого криминала: «добавка» «минус ноль» не играет роли, и получается «четыре». А вот в числителе происходит небольшой триллер: сначала в знаменателе показателя убиваем -1 и 1, в результате чего получается . Единица, делённая на , равна «минус бесконечности», следовательно: . И, наконец, «двойка» в бесконечно большой отрицательной степени
равна нулю: . Или, если ещё подробнее: 
.
Вычислим правосторонний предел:
И здесь - вместо «икса» подставляем . В знаменателе «добавка» снова не играет роли: . В числителе проводятся аналогичные предыдущему пределу действия: уничтожаем противоположные числа и делим единицу на: 
Правосторонний предел бесконечен, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .
II) Исследуем на непрерывность точку
1) Функция не определена в данной точке.
2) Вычислим левосторонний предел:
Метод такой же: подставляем в функцию вместо «икса» . В числителе ничего интересного - получается конечное положительно число . А в знаменателе раскрываем скобки, убираем «тройки», и решающую роль играет «добавка» .
По итогу, конечное положительное число, делённое на бесконечно малое положительное число , даёт «плюс бесконечность»: .
Правосторонний предел, как брат близнец, за тем лишь исключением, что в знаменателе выплывает бесконечно малое отрицательное число
:
Односторонние пределы бесконечны, значит, функция терпит разрыв 2-го рода в точке .
Таким образом, у нас две точки разрыва, и, очевидно, три ветки графика. Для каждой ветки целесообразно провести поточечное построение, т.е. взять несколько значений «икс» и подставить их в . Заметьте, что по условию допускается построениесхематического чертежа, и такое послабление естественно для ручной работы. Я строю графики с помощью проги, поэтому не имею подобных затруднений, вот достаточно точная картинка:
Прямые являются вертикальными асимптотами для графика данной функции.
Ответ : функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точек , в которых она терпит разрывы 2-го рода.
Более простая функция для самостоятельного решения:
Пример 9
Исследовать на непрерывность функцию и выполнить схематический чертёж.
Примерный образец решения в конце, который подкрался незаметно.
До скорых встреч!
Решения и ответы:
Пример 3:
Решение
: преобразуем функцию:
. Учитывая правило раскрытия модуля
и тот факт, что
, перепишем функцию в кусочном виде:
Исследуем функцию на непрерывность.
1) Функция не определена в точке .
Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке
. Выполним чертёж:
Ответ
: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки
, в которой она терпит разрыв первого рода со скачком. Скачок разрыва:
(две единицы вверх).
Пример 5:
Решение
: каждая из трёх частей функции непрерывна на своём интервале.
I)
1)
2) Вычислим односторонние пределы:
, значит, общий предел существует.
3)
- предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.
Таким образом, функция
непрерывна в точке
по определению непрерывности функции в точке.
II)
Исследуем на непрерывность точку
1) - функция определена в данной точке. функция терпит разрыв 2-го рода, в точке
Как найти область определения функции?
Примеры решений
Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть
Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия - Область определения функции . Активное обсуждение данного понятия началось на первом же уроке о графиках функций , где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах.
Предполагается, читатель знает области определения основных функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, логарифма, синуса, косинуса. Они определены на . За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) Более редкие графики запоминаются далеко не сразу.
Область определения - вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной , навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ.
Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения - это множество значений «икс»
, для которых существуют
значения «игреков». Рассмотрим условный пример:
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: - значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».
Грубо говоря, где область определения - там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения, поэтому графика там нет.
Да, кстати, если что-нибудь не понятно из терминологии и/или содержания первых абзацев, таки лучше вернуться к статье Графики и свойства элементарных функций .
Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x ) называется непре-
рывной в точке x 0 , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x 0 ;
2) существует предел lim f (x ) ;
→ x 0
3) этот предел равен значению функции в точке x 0 , т.е. limf (x )= f (x 0 ) . |
||
x→ x0 |
||
Последнее условие равносильно условию lim | y = 0 , гдеx = x − x 0 – при- |
|
x→ 0 | ||
ращение аргумента, y = f (x 0 + | x )− f (x 0 ) – приращение функции, соответст- |
|
вующее приращению аргумента | x , т.е. функция | f (x ) непрерывна в точкеx 0 |
тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Односторонняя непрерывность. Функцияy = f (x ) называется непрерыв-
ной слева в точкеx 0 , если она определена на некотором полуинтервале(a ;x 0 ]
и lim f (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 − 0
Функция y = f (x ) называется непрерывнойсправа в точкеx 0 , если она оп-
ределена на некотором полуинтервале [ x 0 ;a ) и limf (x )= f (x 0 ) .
x→ x0 + 0
Функция y = f (x ) | непрерывна в точке x 0 | тогда и только тогда, когда она |
||||||
непрерывна | ||||||||
lim f (x )= limf (x )= limf (x )= f (x 0 ) . | ||||||||
x→ x0 + 0 | x→ x0 − 0 | x→ x0 | ||||||
Непрерывность функции на множестве. Функция y = f (x ) называется
непрерывной на множестве X , если она является непрерывной в каждой точкеx этого множества. При этом если функция определена в конце некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функцияy = f (x ) называетсяне-
прерывной на отрезке [ a; b] , если она
1) непрерывна в каждой точке интервала (a ;b ) ;
2) непрерывна справа в точке a ;
3) непрерывна слева в точке b .
Точки разрыва функции. Точкаx 0 , принадлежащая области определения функцииy = f (x ) , или являющаяся граничной точкой этой области, называется
точкой разрыва данной функции , еслиf (x ) не является непрерывной в этой точке.
Точки разрыва подразделяются на точки разрыва первого и второго рода:
1) Если существуют конечные пределы lim f (x )= f (x 0 − 0) и
x→ x0 − 0
f (x )= f (x 0 + 0) , причем не все три числаf (x 0 − 0) ,f (x 0 + 0) , | f (x 0 ) равны |
||
x→ x0 + 0 | |||
между собой, то x 0 | называется точкой разрыва I рода. | ||
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x 0 | равны меж- |
||
собой, но | не равны значению функции в этой точке: |
||
f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , то x 0 называется точкой устранимого разрыва.
В этом случае, положив f (x 0 )= A , можно видоизменить функцию в точкеx 0
так, чтобы она стала непрерывной (доопределить функцию по непрерывности ). Разностьf (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) называетсяскачком функции в точке x 0 .
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю.
2) Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода . В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределовf (x 0 − 0) иf (x 0 + 0) .
Свойства функций, непрерывных в точке.
f (x) | и g (x ) непрерывны в точкеx 0 , то функции |
||
f (x )± g (x ) , | f (x )g (x ) и | f (x) | (где g (x )≠ 0) также непрерывны в точкеx . |
g(x) | |||
2) Если функция u (x ) непрерывна в точкеx 0 , а функцияf (u ) непрерывна
в точке u 0 = u (x 0 ) , то сложная функцияf (u (x )) непрерывна в точкеx 0 .
3) Все основные элементарные функции (c , x a ,a x , loga x , sinx , cosx , tgx , ctgx , secx , cosecx , arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx ) непрерывны в каж-
дой точке своих областей определения.
Из свойств 1)–3) следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1) (теорема о промежуточных значениях) Пусть функция f(x) определе-
на и непрерывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда для любого числаC , заключенного
между числами f (a ) иf (b ) , (f (a )< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .
2) (теорема Больцано – Коши
рывна на отрезке [ a ;b ] и принимает на его концах значения различных знаков.
Тогда найдется хотя бы одна точка x 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= 0 .
3) (1-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке [ a ;b ] . Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.
4) (2-я теорема Вейерштрасса ) Пусть функцияf (x ) определена и непре-
рывна на отрезке | [ a ;b ] . Тогда эта функция достигает на отрезке[ a ;b ] | |||||
наибольшего | наименьшего | значений, т.е. | существуют | |||
x1 , x2 [ a; b] , | для любой | точки x [ a ;b ] | справедливы | неравенства |
||
f (x 1 )≤ f (x )≤ f (x 2 ) .
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функцияy = 3x 2 + 2x − 5 непрерывна в произвольной точкеx 0 числовой оси.
Решение: 1 способ: Пусть x 0 – произвольная точка числовой оси. Вы-
числим сначала предел функции f (x ) приx → x 0 , применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций:
lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2 | − 5. |
||||||
x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | x→ x0 | ||||
Затем вычисляем значение функции в точке x :f (x )= 3x 2 | − 5 . |
||||||
Сравнивая полученные результаты, видим, | lim f (x )= f (x 0 ) , что согласно |
||||||
x→ x0 | |||||||
определению и означает непрерывность рассматриваемой функции в точке x 0 .
2 способ: Пусть | x – приращение аргумента в точкеx 0 . Найдем соот- |
|||
ветствующее | приращение | y = f(x0 + x) − f(x0 ) = |
||
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5) | ||||
6 x x+ (x) 2 | 2x = (6x + 2)x + (x )2 . | |||
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргу- |
||||
стремится | ||||
y = lim (6x + 2) | x + (x )2 = (6x + 2) lim | x + (limx )2 = 0 . |
|||
x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 | x→ 0 |
||
Таким образом, lim y = 0 , что и означает по определению непрерывность
x→ 0
функции для любого x 0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функцииf (x ) и определить их род. В
случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
1) f (x ) = 1− x 2 приx < 3;
5x приx ≥ 3
2) f (x )= x 2 + 4 x + 3 ;
x + 1
f (x) = | |||||
x4 (x− 2) |
|||||
f (x )= arctg | |||||
(x − 5) |
|||||
Решение: 1) Областью определения данной функции является вся число-
вая ось (−∞ ;+∞ ) . На интервалах(−∞ ;3) ,(3;+∞ ) функция непрерывна. Разрыв возможен лишь в точкеx = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:
f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;
x →3 −0
f (3+ 0)= lim 5x = 15.
x →3 +0
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, поэтому x = 3 | |||||
разрыва I | f (x ) . Скачок функции в | ||||
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 . | |||||
f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , поэтому в точке | x = 3 | ||||
f (x ) непрерывна справа.
2) Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = − 1, в которой она не определена. Преобразуем выражение дляf (x ) , разложив числитель
дроби на множители: | f (x) = | 4 x +3 | (x + 1)(x + 3) | X + 3 приx ≠ − 1. |
|||||
x + 1 | x + 1 |
||||||||
Найдем односторонние пределы функции в точке x = − 1: |
|||||||||
f (x )= lim | f (x )= lim(x + 3)= 2 . | ||||||||
x →−1 −0 | x →−1 +0 | x →−1 | |||||||
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = − 1 – точка устранимо-
прямую y = x + 3 с «выколотой» точкойM (− 1;2) . Чтобы функция стала непре-
рывной, следует положить f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .
Таким образом, доопределив f (x ) по непрерывности в точкеx = − 1, мы получили функциюf * (x )= x + 3 с областью определения(−∞ ;+∞ ) .
3) Данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек
x = 0 ,x = 2 , в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0:
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает толь-
ко отрицательные значения, то f (− 0)= lim | = −∞ = f (+0) | Т.е. точка |
|||
(x − 2) |
|||||
x →−0 | |||||
x = 0 является точкой разрыва II рода функции | f (x ) . | ||||
Рассмотрим теперь точку x = 2:
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от рассматри-
ваемой точки и положительные – справа, поэтому | f (2− 0)= | = −∞, |
||||||
x4 (x− 2) |
||||||||
x →2 −0 | ||||||||
f (2+ 0)= lim | = +∞ . Как и в предыдущем случае, в точкеx = 2 | |||||||
(x − 2) |
||||||||
x →2 +0 | ||||||||
ция не имеет ни левого, ни правого конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода.
x = 5 . | ||||||||||||||||||
f (5− 0)= lim arctg | π ,f (5+ 0)= lim arctg | x = 5 | ||||||||||||||||
(x − 5) | (x − 5) | |||||||||||||||||
x →5 −0 | x →5 +0 | |||||||||||||||||
ка разрыва | ||||||||||||||||||
f (5+ 0)− f (5− 0)= | π − (− | π )= π (см. рис. 5.2). | ||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функцииf (x ) в
каждой точке x 0 R :
а) f(x) = c= const; | б) f (x )= x ; | ||
в) f (x )= x 3 ; | г) f (x )= 5x 2 − 4x + 1; |
||
д) f (x )= sinx . | |||
5.175. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | является непрерывной на |
1 при x < 0 | |||
всей числовой оси. Построить график этой функции. | |||
5.176. Доказать, что функция | f (x) = x 2 | 1 приx ≥ 0, | не является непрерывной |
0 при x < 0 | |||
в точке x = 0 , но непрерывна справа в этой точке. Построить график функцииf (x ) .
рывной в точке x = | Но непрерывна слева в этой точке. Построить график |
|||||||||||||
функции f (x ) . | ||||||||||||||
5.178. Построить графики функций | ||||||||||||||
а) y = | x + 1 | б) y= x+ | x + 1 | |||||||||||
x + 1 | x + 1 | |||||||||||||
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций выполнены, и какие не выполнены?
5.179. Указать точку разрыва функции
sin x | При x ≠ 0 | ||
при x = 0 | |||
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены, и какие не выполнены?